समतल आकृतियाँ
| आकृति | परिमाप | क्षेत्रफल |
|---|---|---|
| आयत (l × b) | 2(l + b) | l × b |
| वर्ग (भुजा a) | 4a | a², या विकर्ण²/2 |
| त्रिभुज | a + b + c | ½ × आधार × ऊँचाई |
| समबाहु त्रिभुज (भुजा a) | 3a | (√3/4)a² |
| समांतर चतुर्भुज | 2(a + b) | आधार × ऊँचाई |
| समचतुर्भुज (विकर्ण d₁, d₂) | 4a | ½ d₁d₂ |
| समलंब | भुजाओं का योग | ½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई |
| वृत्त (त्रिज्या r) | 2πr | πr² |
| θ कोण का त्रिज्यखंड | चाप = 2πr × θ/360 | πr² × θ/360 |
हीरोन का सूत्र
क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)], s = (a + b + c)/2
भुजाएँ 13, 14 और 15 सेमी: s = 21, क्षेत्रफल = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 सेमी²।
- जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लें। 35 सेमी त्रिज्या का पहिया एक चक्कर में 2 × 22/7 × 35 = 220 सेमी चलता है।
- l × b आयत के चारों ओर w चौड़ाई का पथ (बाहर): क्षेत्रफल = 2w(l + b + 2w)। बीच से गुजरने वाली w चौड़ाई की दो क्रॉस सड़कें: w(l + b − w)।
- मापन: यदि हर लंबाई k गुना हो, तो क्षेत्रफल k² गुना और आयतन k³ गुना होता है। वर्ग की हर भुजा 10% बढ़ाने पर क्षेत्रफल 21% बढ़ता है।
ठोस
| ठोस | वक्र / पार्श्व पृष्ठ | संपूर्ण पृष्ठ | आयतन |
|---|---|---|---|
| घनाभ l × b × h | 2h(l + b) | 2(lb + bh + hl) | lbh |
| घन (भुजा a) | 4a² | 6a² | a³ |
| बेलन | 2πrh | 2πr(r + h) | πr²h |
| शंकु (तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²)) | πrl | πr(r + l) | ⅓πr²h |
| गोला | 4πr² | 4πr² | ⁴⁄₃πr³ |
| अर्धगोला | 2πr² | 3πr² | ⅔πr³ |
- घनाभ का विकर्ण = √(l² + b² + h²); घन का = a√3।
- समान त्रिज्या और ऊँचाई (h = r) वाले शंकु, अर्धगोले और बेलन के आयतनों का अनुपात 1 : 2 : 3 होता है।
- पिघलाकर दोबारा ढालने में आयतन वही रहता है: छोटे ठोसों की संख्या = बड़ा आयतन ÷ छोटा आयतन।
- 1 मी³ = 1000 लीटर; 1 लीटर = 1000 सेमी³।
आम गलतियाँ
जहाँ त्रिज्या चाहिए वहाँ व्यास लेना; शंकु के वक्र पृष्ठ में तिर्यक ऊँचाई के बजाय ऊँचाई लेना; शंकु के आयतन में ⅓ भूलना; और सेमी तथा मी को मिलाना।