समकोण त्रिभुज में न्यून कोण θ के लिए: sin θ = लंब/कर्ण, cos θ = आधार/कर्ण और tan θ = लंब/आधार। इनके व्युत्क्रम cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ और cot θ = 1/tan θ हैं। साथ ही tan θ = sin θ/cos θ।
मानक मान
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos θ | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan θ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | अपरिभाषित |
तालिका याद रखना
0°, 30°, 45°, 60°, 90° के लिए sin क्रमशः √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 है। cos यही सूची उलटे क्रम में है।
सर्वसमिकाएँ
| सर्वसमिका | पुनर्व्यवस्थित |
|---|---|
| sin²θ + cos²θ = 1 | sin²θ = 1 − cos²θ |
| 1 + tan²θ = sec²θ | sec²θ − tan²θ = 1, so (sec θ − tan θ)(sec θ + tan θ) = 1 |
| 1 + cot²θ = cosec²θ | cosec²θ − cot²θ = 1 |
- पूरक कोण: sin(90° − θ) = cos θ, cos(90° − θ) = sin θ, tan(90° − θ) = cot θ। इसलिए sin 35°/cos 55° = 1 और tan 20° × tan 70° = 1।
- न्यून कोणों के लिए यदि sin A = cos B, तो A + B = 90°।
- एक अनुपात से त्रिभुज बनाएँ: tan θ = 3/4 का अर्थ लंब 3, आधार 4, कर्ण 5, इसलिए sin θ = 3/5 और cos θ = 4/5।
- न्यून कोणों के लिए θ बढ़ने पर sin θ और tan θ बढ़ते हैं और cos θ घटता है। sin θ और cos θ कभी 1 से अधिक नहीं होते।
डिग्री और रेडियन
180° = π रेडियन
रेडियन = डिग्री × π/180। 60° = π/3 और 1 रेडियन ≈ 57.3°।
ऊँचाई और दूरी
- उन्नयन कोण क्षैतिज से ऊपर की वस्तु तक ऊपर की ओर मापा जाता है; अवनमन कोण नीचे की वस्तु तक नीचे की ओर। एक ही दृष्टि रेखा के लिए दोनों बराबर होते हैं (एकांतर कोण)।
- ऊँचाई = दूरी × tan(उन्नयन कोण)। 20 मी दूर से 60° पर दिखने वाली मीनार 20√3 मी ऊँची है।
- 45° पर ऊँचाई दूरी के बराबर होती है। सूर्य का उन्नयन 45° हो तो खंभे की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर होती है।
आम गलतियाँ
30° और 60° के sin और cos मान आपस में बदल देना; sin²θ को sin θ² लिखना; और अवनमन कोण क्षैतिज के बजाय ऊर्ध्वाधर से मापना।