मूलधन (P) उधार दी गई या निवेश की गई राशि है, R प्रति वर्ष प्रतिशत दर है, T (या n) वर्षों में समय है, और मिश्रधन (A) = मूलधन + ब्याज। साधारण ब्याज में हर वर्ष ब्याज मूल मूलधन पर निकलता है; चक्रवृद्धि ब्याज में हर वर्ष का ब्याज मूलधन में जुड़ जाता है और उस पर भी ब्याज मिलता है।
साधारण ब्याज
साधारण ब्याज
SI = P × R × T / 100; A = P + SI = P(1 + RT/100)
पुनर्व्यवस्थित: P = 100 × SI / (R × T), R = 100 × SI / (P × T), T = 100 × SI / (P × R)। 8000 रुपये पर 12% से 3 वर्ष: SI = 8000 × 12 × 3 / 100 = 2880 रुपये।
- SI हर वर्ष समान होता है, इसलिए मिश्रधन बराबर कदमों में बढ़ता है। यदि राशि T₁ वर्ष में A₁ और T₂ वर्ष में A₂ हो, तो एक वर्ष का SI = (A₂ − A₁)/(T₂ − T₁)। 2 वर्ष में 3248 और 4 वर्ष में 3696 रुपये: 448/2 = 224 प्रति वर्ष, P = 3248 − 448 = 2800 रुपये, R = 8%।
- SI पर राशि k गुना तब होती है जब SI = (k − 1)P। यह 100/R वर्ष में दोगुनी होती है; यदि 10 वर्ष में दोगुनी हो, तो R = 10%।
- यदि SI पर राशि 16 वर्ष में तिगुनी हो, तो 2P ब्याज में 16 वर्ष लगते हैं, इसलिए 4P (पाँच गुना) में 32 वर्ष।
चक्रवृद्धि ब्याज
चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक)
A = P(1 + R/100)ⁿ; CI = A − P
10,000 रुपये पर 10% से 3 वर्ष: A = 10,000 × 1.331 = 13,310 रुपये और CI = 3310 रुपये। उपयोगी गुणांक: 1.1² = 1.21, 1.1³ = 1.331, 1.05² = 1.1025, 1.2² = 1.44, 1.2³ = 1.728।
| चक्रवृद्धि | प्रति अवधि दर | अवधियों की संख्या |
|---|---|---|
| वार्षिक | R | n |
| अर्धवार्षिक | R/2 | 2n |
| त्रैमासिक | R/4 | 4n |
अर्धवार्षिक उदाहरण
8000 रुपये पर 10% वार्षिक, अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि, 1 वर्ष: 2 अवधियों के लिए 5%, A = 8000 × 1.05² = 8820, CI = 820 रुपये (वार्षिक चक्रवृद्धि से 800 रुपये)। अतः प्रभावी वार्षिक दर 10.25% है; त्रैमासिक चक्रवृद्धि पर 12% प्रभावी रूप से 1.03⁴ − 1 = 12.55% है।
- अलग-अलग वर्षों में अलग दरें: गुणांकों का गुणा करें। 5000 रुपये पर 10%, 12% और 15%: 5000 × 1.10 × 1.12 × 1.15 = 7084 रुपये।
- भिन्नात्मक वर्ष (वार्षिक चक्रवृद्धि): भिन्न भाग के लिए साधारण ब्याज लें। 10% पर 2½ वर्ष: P × 1.1² × 1.05।
- लगातार दो वर्षों के मिश्रधन: दर = (बाद वाला − पहले वाला)/पहले वाला × 100। 2 वर्ष बाद 2916 और 3 वर्ष बाद 3149.28 रुपये: 233.28/2916 = 8%।
- यदि CI पर राशि t वर्ष में दोगुनी हो, तो 2t में 4 गुना, 3t में 8 गुना और 4t वर्ष में 16 गुना होती है।
- n वर्ष बाद देय राशि का वर्तमान मूल्य: P = A/(1 + R/100)ⁿ। 10% पर 2 वर्ष बाद देय 12,100 रुपये: 12,100/1.21 = 10,000 रुपये।
CI और SI का अंतर
| अवधि | CI − SI |
|---|---|
| 1 वर्ष (वार्षिक चक्रवृद्धि) | 0 (दोनों बराबर) |
| 2 वर्ष | P(R/100)² |
| 3 वर्ष | P(R/100)²(3 + R/100) |
2 वर्ष के लिए अंतर केवल पहले वर्ष के ब्याज पर ब्याज है। 5000 रुपये पर 10%: 5000 × 0.01 = 50 रुपये। 10,000 रुपये पर 10% से 3 वर्ष: 10,000 × 0.01 × 3.1 = 310 रुपये।
वृद्धि, ह्रास और किस्तें
- जनसंख्या वृद्धि में +R के साथ CI सूत्र लगता है; ह्रास में (1 − R/100)ⁿ। 15% वार्षिक ह्रास वाली 10,00,000 रुपये की मशीन 3 वर्ष बाद 10,00,000 × 0.85³ = 6,14,125 रुपये की रह जाती है।
- CI पर समान वार्षिक किस्तें: ऋण, किस्तों के वर्तमान मूल्यों के योग के बराबर होता है। 10% पर 2100 रुपये, 2 समान वार्षिक किस्तें x: x/1.1 + x/1.21 = 2100, इसलिए x = 1210 रुपये।
- हर वर्ष ब्याज निकाल लेने पर चक्रवृद्धि नहीं होती: 10% पर 10,000 रुपये, हर वर्ष ब्याज निकालने पर केवल 1000 रुपये प्रति वर्ष, साधारण ब्याज की तरह।
आम गलतियाँ
अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि में दर आधी और अवधियाँ दोगुनी करना भूलना; प्रश्न ब्याज पूछे तब मिश्रधन देना; महीनों को वर्ष मानना (8 महीने = 2/3 वर्ष); और यह मानना कि CI पर t वर्ष में दोगुनी राशि 2t वर्ष में तिगुनी होगी (वह चार गुना होती है)।