अनुपात a : b एक ही प्रकार की दो राशियों की भाग द्वारा तुलना है (a/b)। समानुपात बताता है कि दो अनुपात बराबर हैं। धन बाँटना, साझेदारी का लाभ, मिश्रण, आयु, कार्य और चाल के प्रश्न इन्हीं पर आधारित हैं।
अनुपात की मूल बातें
- दोनों पदों को एक ही संख्या से गुणा या भाग देने पर अनुपात नहीं बदलता: 0.5 : 1.5 = 5 : 15 = 1 : 3।
- दोनों राशियों को समान प्रतिशत बढ़ाने या घटाने से अनुपात नहीं बदलता; समान संख्या जोड़ने या घटाने से बदल जाता है।
- T को a : b में बाँटने पर Ta/(a + b) और Tb/(a + b): 270 को 4 : 5 में बाँटने पर 120 और 150।
- a : b और c : d की तुलना के लिए a × d और b × c की तुलना करें।
- भिन्न के रूप में दिए अनुपात: हरों के ल.स.प. से बदलें। 1/2 : 1/3 : 1/4 = 6 : 4 : 3।
- अनुपात जोड़ना: यदि a : b = 2 : 3 और b : c = 6 : 7, तो b बराबर करें: a : b : c = 4 : 6 : 7। श्रृंखला p : q, q : r, r : s में p : s = पहले पदों का गुणनफल : दूसरे पदों का गुणनफल।
- यदि 2A = 3B = 4C, तो A : B : C = 1/2 : 1/3 : 1/4 = 6 : 4 : 3।
| पद | अर्थ | उदाहरण |
|---|---|---|
| वर्गानुपात | a² : b² | 2 : 3 → 4 : 9 |
| वर्गमूलानुपात | √a : √b | 49 : 81 → 7 : 9 |
| घनानुपात | a³ : b³ | 2 : 3 → 8 : 27 |
| व्युत्क्रमानुपात | b : a | 2 : 3 → 3 : 2 |
समानुपात
- यदि a : b :: c : d, तो बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल: a × d = b × c।
- a, b, c का चतुर्थानुपाती bc/a है। a और b का तृतीयानुपाती b²/a है (6 और 12 → 24)।
- a और b का मध्यानुपाती √(ab) है (4 और 16 → 8)। यदि a, b, c वितत समानुपात में हों, तो b² = ac।
- योगांतरानुपात: यदि a/b = c/d तो (a + b)/(a − b) = (c + d)/(c − d)। (x² + y²)/(x² − y²) = 17/8 जैसे प्रश्नों में उपयोगी, जिससे x²/y² = 25/9 और x : y = 5 : 3।
| विचरण | अर्थ | संबंध |
|---|---|---|
| प्रत्यक्ष | एक बढ़े तो दूसरा उसी अनुपात में बढ़े | x₁/y₁ = x₂/y₂ |
| व्युत्क्रम | एक बढ़े तो दूसरा घटे, गुणनफल स्थिर रहे (आदमी और दिन) | x₁y₁ = x₂y₂ |
| संयुक्त | दो या अधिक राशियों पर निर्भर, जैसे A = kB² | पहले k ज्ञात करें |
साझेदारी
लाभ का बँटवारा
लाभ का अनुपात = A की (पूँजी × समय) : B की (पूँजी × समय) : …
यदि पूँजी समान समय के लिए लगी हो, तो लाभ पूँजी के अनुपात में बँटता है। यदि कोई साझेदार वर्ष के बीच धन जोड़े या निकाले, तो हर अवधि के लिए पूँजी × माह जोड़ें। कार्यकारी साझेदार पहले अपना वेतन या कमीशन लेता है, शेष पूँजी के अनुपात में बँटता है।
हल किया गया उदाहरण
P 6000 रुपये से शुरू करता है; Q 4 माह बाद 8000 रुपये लेकर जुड़ता है। वर्ष का लाभ 17,000 रुपये। P : Q = 6000 × 12 : 8000 × 8 = 72 : 64 = 9 : 8, इसलिए P को 9/17 × 17,000 = 9000 रुपये।
मिश्रण और एलीगेशन
एलीगेशन का नियम
सस्ता : महँगा = (महँगा मूल्य − औसत मूल्य) : (औसत मूल्य − सस्ता मूल्य)
पानी (मूल्य 0) को 12 रुपये/लीटर के दूध में मिलाकर 8 रुपये/लीटर: पानी : दूध = (12 − 8) : (8 − 0) = 1 : 2। यही नियम सांद्रता पर भी लागू होता है: 30% और 70% अम्ल को मिलाकर 50% बनाने पर 1 : 1।
बार-बार प्रतिस्थापन
शेष शुद्ध द्रव = V × (1 − x/V)ⁿ
V = कुल आयतन, x = हर बार निकाली और बदली गई मात्रा, n = कितनी बार। 20 लीटर दूध में से दो बार 4 लीटर निकालकर पानी डालें: 20 × (16/20)² = 12.8 लीटर दूध, यानी दूध : पानी = 12.8 : 7.2 = 16 : 9।
- अनुपात बदलने के लिए पानी मिलाना: दूध वही रहता है। 3 : 1 वाले 40 लीटर में 30 लीटर दूध; 3 : 2 के लिए पानी 20 लीटर चाहिए, इसलिए 10 लीटर मिलाएँ।
- दो मिश्रणों की समान मात्रा मिलाना: हर भाग के भिन्न जोड़ें। असमान मात्रा: पहले हर मिश्रण को उसकी वास्तविक मात्रा पर बदलें।
आय और व्यय का पैटर्न
आय 5 : 4, व्यय 3 : 2, दोनों 1200 रुपये बचाते हैं: 5x − 3y = 1200 और 4x − 2y = 1200 लिखें। हल करने पर x = 600, y = 600, इसलिए A की आय 3000 रुपये। यह दो समीकरणों वाला पैटर्न अक्सर आता है।
आम गलतियाँ
साझेदारी में समय को अनदेखा करना; दोनों पदों में समान संख्या जोड़कर अनुपात समान मान लेना; अनुपात जोड़ने से पहले उभयनिष्ठ पद बराबर न करना; कार्यकारी साझेदार का वेतन पहले देने के बजाय उसके पूँजी हिस्से से देना।