यह अध्याय अंकगणित के बाकी सभी विषयों की नींव है: संख्याओं के प्रकार, विभाज्यता के नियम, बड़ी घातों का इकाई अंक, गुणनखंडों की गिनती, संक्रियाओं का क्रम (BODMAS), भिन्न और आवर्ती दशमलव, तथा म.स.प. और ल.स.प. के शाब्दिक प्रश्न।
संख्याओं के प्रकार
| प्रकार | अर्थ | उदाहरण |
|---|---|---|
| प्राकृत संख्याएँ (N) | 1 से शुरू होने वाली गिनती की संख्याएँ | 1, 2, 3, … |
| पूर्ण संख्याएँ (W) | प्राकृत संख्याएँ और शून्य | 0, 1, 2, … |
| पूर्णांक (Z) | धनात्मक और ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ तथा शून्य | …, −2, −1, 0, 1, 2, … |
| परिमेय संख्याएँ (Q) | p/q के रूप में लिखी जा सकती हैं, q ≠ 0; दशमलव सांत या आवर्ती | ½, −3, 0.75 |
| अपरिमेय संख्याएँ | p/q के रूप में नहीं लिखी जा सकतीं; दशमलव न समाप्त होते हैं न दोहराते हैं | √2, √3, π |
| अभाज्य संख्याएँ | ठीक दो गुणनखंड: 1 और स्वयं संख्या | 2, 3, 5, 7, 11 |
| भाज्य संख्याएँ | दो से अधिक गुणनखंड | 4, 6, 8, 9 |
| सह-अभाज्य संख्याएँ | दो संख्याएँ जिनका म.स.प. 1 हो | (8, 9), (14, 15) |
याद रखने योग्य तथ्य
- 1 न अभाज्य है न भाज्य; 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
- 1 से 100 तक 25 अभाज्य संख्याएँ हैं, और 1 से 10 तक 4 (2, 3, 5, 7)।
- विषम × विषम = विषम; सम × कोई भी पूर्णांक = सम; विषम + विषम = सम।
- पहली n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n + 1)/2; उनके घनों का योग = [n(n + 1)/2]²।
विभाज्यता के नियम
| भाजक | जाँच | उदाहरण |
|---|---|---|
| 2 | अंतिम अंक सम | 3748 |
| 3 | अंकों का योग 3 से विभाज्य | 5316 → 15 |
| 4 | अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य | 7312 → 12 |
| 5 | अंतिम अंक 0 या 5 | 4835 |
| 6 | 2 और 3 दोनों से विभाज्य | 4632 |
| 8 | अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य | 54136 → 136 |
| 9 | अंकों का योग 9 से विभाज्य | 8127 → 18 |
| 11 | एकांतर अंकों के योगों का अंतर 0 या 11 का गुणज | 7469 → 13 − 13 = 0 |
| 12 | 3 और 4 दोनों से विभाज्य | 1452 |
किसी घात का इकाई अंक
| आधार का अंतिम अंक | इकाई अंकों का चक्र | चक्र की लंबाई |
|---|---|---|
| 0, 1, 5, 6 | हमेशा वही अंक | 1 |
| 2 | 2, 4, 8, 6 | 4 |
| 3 | 3, 9, 7, 1 | 4 |
| 7 | 7, 9, 3, 1 | 4 |
| 8 | 8, 4, 2, 6 | 4 |
| 4 | 4 (विषम घात), 6 (सम घात) | 2 |
| 9 | 9 (विषम घात), 1 (सम घात) | 2 |
विधि
घात को चक्र की लंबाई से भाग दें; शेषफल से अंक चुनें (शेषफल 0 → चक्र का अंतिम अंक)
उदाहरण: 7⁹⁵ → 95 ÷ 4 का शेषफल 3 → (7, 9, 3, 1) का तीसरा अंक = 3।
गुणनखंड और शेषफल
गुणनखंडों की संख्या और योग
यदि N = pᵃ × qᵇ × rᶜ, तो गुणनखंडों की संख्या = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
गुणनखंडों का योग = (1 + p + … + pᵃ)(1 + q + … + qᵇ)(1 + r + … + rᶜ)। उदाहरण: 360 = 2³ × 3² × 5 के 4 × 3 × 2 = 24 गुणनखंड हैं, और उनका योग 15 × 13 × 6 = 1170 है।
- n! के अंत में शून्य = [n/5] + [n/25] + [n/125] + … (गुणनखंड 5 की गिनती)। उदाहरण: 100! के अंत में 20 + 4 = 24 शून्य।
- n विषम होने पर aⁿ + bⁿ, (a + b) से विभाज्य है; aⁿ − bⁿ हर n के लिए (a − b) से विभाज्य है।
- घात का शेषफल: पहले आधार को उसके शेषफल से बदलें। उदाहरण: 14 को 5 से भाग देने पर 4 बचता है, और 4² पर 1 बचता है, इसलिए 14¹⁰⁰ पर 1 बचता है।
BODMAS: संक्रियाओं का क्रम
क्रम
कोष्ठक → 'का' / घात (घात, मूल) → भाग और गुणा → जोड़ और घटाव
भाग और गुणा की प्राथमिकता बराबर है और ये बाएँ से दाएँ किए जाते हैं; जोड़ और घटाव भी। कोष्ठक इस क्रम में हटाए जाते हैं: रेखा कोष्ठक, ( ), { }, [ ]।
आम गलती
20 ÷ 5 × 2 = 4 × 2 = 8, न कि 20 ÷ 10 = 2। जब ÷ और × साथ हों तो बाएँ से दाएँ हल करें।
भिन्न और आवर्ती दशमलव
- a/b और c/d की तुलना के लिए a × d और b × c की तुलना करें (तिर्यक गुणन)।
- 0.ab̄ (दो अंक दोहराते हुए) = ab/99; जैसे 0.3737… = 37/99। एक अंक दोहराए: 0.ā = a/9।
- मिश्र दशमलव: (सभी अंकों से बनी संख्या − न दोहराने वाला भाग) ÷ (दोहराने वाले अंकों जितने 9, फिर न दोहराने वाले अंकों जितने 0)। उदाहरण: 0.36̄ = (36 − 3)/90 = 11/30।
म.स.प. और ल.स.प.
| म.स.प. (महत्तम समापवर्तक) | ल.स.प. (लघुत्तम समापवर्त्य) | |
|---|---|---|
| अर्थ | सभी दी गई संख्याओं को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या | सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटी संख्या |
| अभाज्य गुणनखंडों से | उभयनिष्ठ अभाज्य, न्यूनतम घात के साथ | सभी अभाज्य, अधिकतम घात के साथ |
| भिन्नों का | अंशों का म.स.प. ÷ हरों का ल.स.प. | अंशों का ल.स.प. ÷ हरों का म.स.प. |
| सामान्य उपयोग | सबसे बड़ी टाइल, सबसे बड़ा पात्र, बराबर पंक्तियाँ | घंटियाँ या बत्तियाँ फिर साथ, कई संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटी संख्या |
मुख्य संबंध (केवल दो संख्याओं के लिए)
म.स.प. × ल.स.प. = दोनों संख्याओं का गुणनफल
उदाहरण: म.स.प. 23, ल.स.प. 1449, एक संख्या 161 → दूसरी = 23 × 1449 ÷ 161 = 207। यह तीन संख्याओं पर लागू नहीं होता।
| प्रश्न का प्रकार | उत्तर |
|---|---|
| a, b, c को समान शेषफल छोड़ते हुए विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या | अंतरों (b − a), (c − b), (c − a) का म.स.प. |
| a, b, c को क्रमशः p, q, r शेषफल छोड़ते हुए विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या | (a − p), (b − q), (c − r) का म.स.प. |
| कई संख्याओं से भाग देने पर समान शेषफल r छोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या | ल.स.प. + r |
| सबसे छोटी संख्या जहाँ हर भाजक के लिए (भाजक − शेषफल) एक ही k हो | ल.स.प. − k |
हल किए गए उदाहरण
- 18 ÷ 3 × (4 + 2) − 5² को सरल करें। कोष्ठक: 18 ÷ 3 × 6 − 5²; घात: 18 ÷ 3 × 6 − 25; बाएँ से दाएँ: 6 × 6 − 25 = 36 − 25 = 11।
- तीन बत्तियाँ हर 36, 48 और 72 सेकंड पर हरी होती हैं और 9:00 बजे साथ हैं। ल.स.प. = 2⁴ × 3² = 144 सेकंड = 2 मिनट 24 सेकंड, इसलिए अगली बार 9:02:24 बजे साथ।
- 48 मी × 36 मी का आँगन सबसे बड़ी वर्गाकार टाइलों से ढकना है। भुजा = म.स.प.(48, 36) = 12 मी; टाइलें = 4 × 3 = 12।
- 445, 572 और 699 को क्रमशः 4, 5 और 6 शेषफल छोड़ते हुए विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या: म.स.प.(441, 567, 693) = 3² × 7 = 63।
- 12, 15, 18 और 27 से विभाज्य सबसे छोटी 4 अंकों की संख्या: ल.स.प. = 2² × 3³ × 5 = 540; 1000 गुणज नहीं, अगला गुणज 1080 है।
- वह सबसे छोटी संख्या जो 5, 6, 7 और 8 से भाग देने पर 3 शेष छोड़े पर 9 से विभाज्य हो: ल.स.प. = 840, संख्याएँ 840k + 3; k = 2 से 1683 = 9 × 187।
- 2¹⁰⁰ का इकाई अंक: 100 ÷ 4 का शेषफल 0, इसलिए चक्र (2, 4, 8, 6) का अंतिम अंक = 6।
आम गलतियाँ
1 को अभाज्य मानना; बाएँ से दाएँ के बजाय ÷ से पहले × करना; तीन संख्याओं के लिए म.स.प. × ल.स.प. = गुणनफल लगाना; भिन्नों के म.स.प. और ल.स.प. के नियम उलट देना; यह भूलना कि इकाई अंक के प्रश्न में शेषफल 0 का अर्थ चक्र का अंतिम अंक है।
परीक्षा पर ध्यान
BODMAS सरलीकरण पर एक-दो प्रश्न, म.स.प./ल.स.प. के शाब्दिक प्रश्नों (घंटियाँ, टाइलें, शेषफल) पर एक, और विभाज्यता या इकाई अंक पर एक प्रश्न अपेक्षित है। समय बचाने के लिए 30 तक के वर्ग और 15 तक के घन याद रखें।