आयु संबंधी प्रश्न
- वर्तमान आयु x मानें; n वर्ष पहले वह x − n थी और n वर्ष बाद x + n होगी।
- दो व्यक्तियों की आयु का अंतर कभी नहीं बदलता। यदि आयु का अनुपात अभी 3 : 1 है और पिता 30 वर्ष बड़े हैं, तो 2 भाग = 30, इसलिए आयु 45 और 15 है।
- किसी समूह की कुल आयु (व्यक्तियों की संख्या × वर्ष) से बढ़ती है। 5 व्यक्तियों के समूह की औसत आयु हर वर्ष ठीक 1 बढ़ती है।
- अनुपात वाले प्रश्न: आयु को (मान लें) 3k और 5k लिखें, दोनों पर परिवर्तन लगाएँ, और नए अनुपात से k निकालें।
हल किया उदाहरण
आयु का अनुपात 4 : 5 है। 6 वर्ष बाद अनुपात 6 : 7 है। तब (4k + 6)/(5k + 6) = 6/7 से 28k + 42 = 30k + 36, इसलिए k = 3 और आयु 12 और 15।
वर्गमूल और घनमूल
- पूर्ण वर्ग 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होता है, कभी 2, 3, 7 या 8 पर नहीं। विषम संख्या में शून्य पर समाप्त संख्या पूर्ण वर्ग नहीं होती।
- अभाज्य गुणनखंड से वर्गमूल: गुणनखंडों के जोड़े बनाएँ। 1764 = 2² × 3² × 7², इसलिए √1764 = 2 × 3 × 7 = 42। घनमूल: तीन-तीन के समूह। 2744 = 2³ × 7³, इसलिए ∛2744 = 14।
- पूर्ण वर्ग बनाने के लिए गुणा की जाने वाली सबसे छोटी संख्या: बिना जोड़े वाले अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल। 180 = 2² × 3² × 5, इसलिए 5 से गुणा करें।
- दशमलव के मूल: दशमलव स्थानों को जोड़ों में गिनें। √0.0009 = 0.03 और √0.09 = 0.3।
करणी
करणी ऐसा मूल है जिसे परिमेय संख्या में सरल नहीं किया जा सकता, जैसे √2 या ∛5। केवल समान करणियाँ जोड़ी जा सकती हैं: 3√2 + 5√2 = 8√2, पर √2 + √3 वैसा ही रहता है।
| नियम | उदाहरण |
|---|---|
| √a × √b = √(ab) | √2 × √8 = √16 = 4 |
| √(a²b) = a√b | √72 = √(36 × 2) = 6√2 |
| (√a + √b)(√a − √b) = a − b | (√5 + √3)(√5 − √3) = 2 |
| 1/(√a + √b) का परिमेयकरण: (√a − √b) से गुणा करें | 1/(√3 + √2) = √3 − √2 |
करणियों की तुलना
उन्हें एक समान घात पर ले जाएँ। ∛4 और √3 की तुलना के लिए 6वीं घात लें: ∛4 से 16 और √3 से 27, इसलिए √3 बड़ा है।
घातांक के नियम
| नियम | उदाहरण |
|---|---|
| aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ ÷ 5⁴ = 25 |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ | 8^(2/3) = 2² = 4; 27^(−1/3) = 1/3 |
आम गलतियाँ
√(a + b) को √a + √b लिखना (√9 + √16 = 7, पर √25 = 5); आयु का परिवर्तन केवल एक व्यक्ति पर लगाना; और a⁰ को 1 के बजाय 0 मानना।